Exercícios sobre movimento circular uniformemente variado (MCUV)
Em uma corrida, 3 competidores (A, B e C) estão paralelamente alinhados e com a mesma velocidade de 6 m/s, em uma parte do trajeto que é circular. Considere que o raio da curva do competidor A é maior que o raio da curva do competidor B, que este está em um raio maior do que o do competidor C (RA > RB >RC) e que os três possuem a mesma aceleração nesse momento.
a) O competidor A completará primeiro essa etapa do trajeto, porque terá a maior aceleração angular.
b) O competidor B completará primeiro essa etapa do trajeto, porque terá a maior aceleração angular.
c) O competidor C completará por último essa etapa do trajeto, porque terá a menor aceleração angular.
d) O competidor A completará por último essa etapa do trajeto, porque terá a menor aceleração angular.
e) O competidor completará por último essa etapa do trajeto, porque terá a menor aceleração angular.
Letra D
A aceleração angular é inversamente proporcional ao raio do trajeto. Logo, se os três estão alinhados e com a mesma velocidade, o fator que irá diferenciá-los será a aceleração angular, que por sua vez depende do raio. Como o competidor A é aquele que forma o maior raio, sua aceleração angular será a menor.
Durante uma viagem, um carro que se move com velocidade constante de 18 m/s passa por um trajeto curvilíneo de 6 m de raio, concluindo-o com velocidade de 21 m/s em 1,25 segundos. A variação da velocidade angular e a aceleração angular do carro nessa etapa são iguais a:
a) 0,5 rad/s e 0,4 rad/s²
b) 12 rad/s e 5 rad/s²
c) 3 rad/s e 10 rad/s²
d) 15 rad/s e 6 rad/s²
e) 3 rad/s e 5 rad/s²
Letra A
A variação da velocidade angular Δω equivale à razão Δv, que é a diferença entre a velocidade final e inicial linear e o raio da curva.
\(∆ω=\frac{∆v}R=\frac{21-18}6=\frac36=0,5\ rad/s\)
\(\alpha=\frac{∆ω}t=\frac{0,5}{1,25}=0,4\ rad/s²\)
Uma supercentrífuga foi fabricada por encomenda para um determinado laboratório para a separação de substâncias muito densas. Ela tem como característica principal um programa que possibilita que sua velocidade aumente gradativamente até atingir o ápice de 300 rad/s. Ela atinge sua velocidade máxima após 20 voltas completas, iniciando a programação desde o repouso. Escolha a alternativa que representa a aceleração angular, em rad/s², da supercentrífuga.
Utilize π = 3.
a) 12
b) 20
c) 1,5
d) 6
e) 10
Letra C
ωo = 0
ω = 60 rad/s
Δθ = 20 voltas
α = ?
Para 20 voltas completas, há o deslocamento angular. Logo, se uma volta equivale a 2πrad, 20 voltas equivalem a esse valor multiplicado por 20, 40πrad. O problema não mencionou o tempo. Analisando os valores fornecidos, conclui-se que a equação que melhor se encaixa é a de Torricelli para o MCUV.
O problema permite considerar π = 3, então:
Δθ = 40πrad = 40 · 3 = 120 rad
\(\omega^2=\omega_0^2+2·α·∆θ\)
\({60}^2=0^2+2·α·120\)
3600 = 240 · α
\(\alpha=\frac{3600}{240}=1,5\ rad/s²\)
(Enem 2019) Na madrugada de 11 de março de 1978, partes de um foguete soviético reentraram na atmosfera acima da cidade do Rio de Janeiro e caíram no oceano Atlântico. Foi um belo espetáculo. Os inúmeros fragmentos entrando em ignição devido ao atrito com a atmosfera brilharam intensamente, enquanto “cortavam o céu”. Mas se a reentrada tivesse acontecido alguns minutos depois, teríamos uma tragédia, pois a queda seria na área urbana do Rio de Janeiro, e não no oceano.
De acordo com os fatos relatados, a velocidade angular do foguete em relação à Terra no ponto de reentrada era
a) igual à da Terra e no mesmo sentido.
b) superior à da Terra e no mesmo sentido.
c) inferior à da Terra e no sentido oposto.
d) igual à da Terra e no sentido oposto.
e) superior à da Terra e no sentido oposto.
Letra B
A velocidade angular deve ser superior. Caso fosse igual, no momento da entrada do foguete na atmosfera, bem acima da cidade, o giro de ambos (foguete e planeta) coincidiria, ocasionando a queda dos pedaços do foguete na cidade. Além disso, se a velocidade angular do foguete fosse no sentido contrário ao da Terra, a cidade do Rio não seria acertada, mas alguma outra cidade brasileira, sim. Indo no sentido inverso do movimento terrestre, os destroços atingiriam o interior do país.
Em uma curva de raio R, um carro que iniciou a curva com velocidade de 6 rad/s manteve uma aceleração de 4 rad/s² durante 4 segundos, percorrendo um total de 112 metros. Considerando o início da curva como o ponto zero, o valor de R é:
a) 5 m
b) 10 m
c) 11 m
d) 2 m
e) 15 m
Letra D
-
ωo = 6 rad/s
-
α = 4 rad/s²
-
θ0 = 0
-
t = 4 s
-
R = ?
-
ΔS = 112 m
Para descobrir o raio da curva, é necessário saber o deslocamento angular, que nesse caso, como o ângulo inicial é zero, terá o mesmo valor que o ângulo final.
\(\theta=\theta_0+\omega_0·t+\frac{α·t²}2\)
\(\theta=0+6·4+\frac{4.4^2}2\)
\(\theta=24+\frac{4·16}2=24+\frac{64}2=24+32=56\ rad\)
\(\theta=∆θ=\frac{∆S}R\)
\(56=\frac{112}{R}\)
Como R está isolado no denominador, ele trocará de lugar com o 112.
\(R=\frac{112}{56}=2\ m\)
Um marceneiro aceitou fazer um guarda-roupa para uma determinada família utilizando um tipo de madeira rústico. Para o trabalho, ele usou uma furadeira que faz a broca rotacionar a uma velocidade de 6000 rad/s girando livremente. Quando ele utilizou a mesma furadeira na madeira, após 30 segundos de uso, à medida que a broca adentrou no material, sua velocidade mudou para 4500 rad/s. Com isso, a aceleração da furadeira passou a ser:
a) 50 rad/s²
b) 10 rad/s²
c) -50 rad/s²
d) -20 rad/s²
e) -10 rad/s²
Letra C
-
ω0 = 6000 rad/s
-
ω = 4500 rad/s
-
t = 30 s
-
α = ?
\(\omega=\omega_0+\alpha·t\)
\(4500=6000+\alpha·30\)
\(4500-6000=\alpha·30\)
\(-1500=\alpha·30\)
\(\alpha.30=-1500\)
\(\alpha=\frac{-1500}{30}=-50\ rad/s^2\)
Um motociclista percorreu um trajeto circular obedecendo à seguinte função no SI:
ω = 12 + 3 · t
Considerando o início do trajeto como ponto zero, calcule o deslocamento angular que ocorreu até a velocidade de 42 rad/s ser atingida.
a) 270 rad
b) 600 rad
c) 800 rad
d) 180 rad
e) 500 rad
Letra A
Primeiramente, é preciso descobrir o tempo necessário para a velocidade de 42 rad/s ser atingida.
\(\omega=12+3·t\)
\(42=12+3·t\)
\(42-12=3·t\)
\(30=3·t\)
\(3·t=30\)
\(t=\frac{30}{3}=10s\)
Considerando que o ângulo inicial é zero, utiliza-se a função horária da posição.
\(\theta=\theta_0+\omega_0·t+\frac{α·t^2}2\)
\(\theta=12·10+\frac{3·10^2}2=120+\frac{3·100}2=120+\frac{300}2=120+150=270\ rad\)
Uma criança está segurando a extremidade de uma corda, e na outra extremidade há uma bolinha amarrada. Ela começa rodar a corda, girando cada vez mais rápido, mantendo inconscientemente uma aceleração de 4 rad/s². O tempo necessário para um deslocamento angular de 288 radianos é de:
a) 8 segundos
b) 20 segundos
c) 12 segundos
d) 60 segundos
e) 10 segundos
Letra C
-
α = 4 rad/s²
-
θ = 288 rad
-
t = ?
Como o exercício não detalhou o início do movimento, deduz-se que o ângulo inicial e a velocidade inicial sejam nulos.
\(\theta=\theta_0+\omega_0·t+\frac{α·t^2}2\)
\(288=0+0·t+\frac{4·t^2}2\)
\(288=\frac{4·t^2}2\)
\(288=2·t^2\)
\(2·t^2=288\)
\(t^2=\frac{288}{2}\)
\(t^2=144\)
Como o t está elevado ao quadrado, acrescenta-se a raiz quadrada em ambos os lados da equação para anular o expoente.
\(\sqrt{t^2}=\sqrt{144}\)
\(t=12s\)
Uma roda gigante possui 80 metros de diâmetro e, durante um turno do passeio, tem velocidade constante de 0,02 rad/s. Ao final do passeio, ela gasta um total de 40 segundos para parar totalmente, possibilitando que as pessoas desçam. Qual é aceleração da roda gigante?
a) – 5 m/s²
b) 5 m/s²
c) – 0, 9 m/s²
d) 0,06 m/s²
e) – 0,025m/s²
Letra E
-
d = 100 m
-
ω0 = 0,02 rad/s
-
ω = 0 rad/s
-
t = 40 s
-
a = ?
\(\omega=\omega_0+\alpha·t\)
\(0=0,02+\alpha·40\)
\(-\alpha·40=0,02\)
\(\alpha=\frac{0,02}{-40}=-0,0005\ rad/s^2\)
Se d = 100, o raio é a metade disso.
\(a=\alpha·R=-0,0005·50=-0,025\ m/s²\)
O valor obtido foi negativo já que a roda gigante terá sua velocidade reduzida com o tempo.
Duas engrenagens de uma mesma máquina se movem ao mesmo tempo e com a mesma velocidade linear em um determinado momento t. A engrenagem P possui raio igual a 10 cm, e a engrenagem Q possui diâmetro igual a 16 cm. Ambas possuem exatamente a mesma aceleração angular. Analise as afirmações a seguir em relação ao que ocorrerá após o tempo t.
a) A velocidade angular de P será maior que a de Q, porque seu raio é menor.
b) A velocidade angular de P será maior que a de Q, porque seu raio é maior.
c) A aceleração de P será maior que a de Q, porque seu raio é maior.
d) A aceleração de Q será maior que a de P, porque seu raio é maior.
Letra C
Quanto maior o raio de um percurso, quando se tem grandezas lineares iguais, menores as grandezas angulares, sendo inversamente proporcionais. Em contrapartida, quando se tem grandezas angulares iguais, quanto maior o raio, maiores as grandezas lineares, sendo diretamente proporcionais.
|
Grandezas angulares |
Grandezas lineares |
|
\(∆θ=\frac{∆S}R\) |
\(∆S=∆θ·R\) |
|
\(\omega=\frac{v}{R}\) |
\(v=\omega·R\) |
|
\(\alpha=\frac{a}{R}\) |
\(a=\alpha·R\) |
Um motor de rotação, acoplado a uma broca com ponta de diamante de uma mineradora, é utilizado para perfurar rochas grandes com um alto índice de dureza. Sua aceleração é aproximadamente igual a 15 rad/s² desde o momento em que o motor é ligado. Sendo assim, qual o deslocamento angular necessário para sua velocidade de rotação ser igual a 600 rad/s?
a) 500 rad
b) 1200 rad
c) 600 rad
d) 2000 rad
e) 100 rad
Letra B
-
ω0 = 0
-
ω = 600 rad/s
-
α = 15 rad/s²
-
Δθ = ?
\(\omega^2=\omega_0^2+2·α·∆θ\)
\({600}^2=0²+2·15·∆θ\)
\(360000=30·∆θ\)
\(30.∆θ=360000\)
\(∆θ=\frac{360000}30=12000\ rad\)
Em uma apresentação circense, um trapezista utilizou uma corda de 12 metros de comprimento para se mover de um lado a outro do picadeiro, descrevendo assim um terço de uma circunferência. Sua aceleração angular foi de 8 rad/s² na descida, logo sua velocidade angular no ponto mais baixo do trajeto foi de:
Utilize π = 3.
a) 9 rad/s
b) 11 rad/s
c) 15 rad/s
d) 4 rad/s
e) 21 rad/s
Letra D
-
R = 12 m
-
α = 8 rad/s²
-
ω = ?
O trajeto equivale a um terço de uma circunferência. Porém, em uma metade do trajeto ele desceu e na outra metade ele subiu, logo a velocidade desejada é a máxima, a que ele obteve no final da descida. Primeiramente, deve-se calcular o deslocamento angular. Para isso, é necessário o comprimento percorrido. Se o trajeto todo possui 1/3 da circunferência, metade disso seria 1/6. Sendo assim, deve-se calcular o comprimento de 1/6 dessa circunferência.
\(∆S=\frac{2·π·R}6=\frac{2·3·12}6=\frac{72}6=12\ m\)
Com isso, calcula-se o deslocamento angular:
\(∆θ=\frac{∆S}R=\frac{12}{12}=1rad\)
A velocidade é dada pela equação de Torricelli para o MCV:
\(\omega^2=\omega_0^2+2·α·∆θ\)
\(\omega^2=0²+2·8·1\)
\(\omega^2=16\)
Como a velocidade angular está ao quadrado, é necessário acrescentar raiz quadrada em ambos os lados da equação para anular o expoente.
\(\sqrt{\omega^2}=\sqrt{16}\)
\(\omega=4\ rad/s\)
