Exercícios sobre Circunferência: Posições Relativas

Calculando o centro C através da equação do ponto médio de um segmento:

Coordenadas A(4; –7) e   B(–8; –3).

De acordo com a lei de formação da equação de uma circunferência (x – a)² + (y – b)² = r², temos que de acordo com o ponto médio o centro da circunferência é (–2; –5), isto é,

a = –2 e b = –5. Então:

(x + 2)² + (y + 5)² = 3²

(x + 2)² + (y + 5)² = 9

A equação da circunferência é dada por (x + 2)² + (y + 5)² = 9.

A equação da circunferência que possui centro C(0, 3) e raio r = 5 é dada por:

(x – 0)² + (y – 3)² = 5² → x² + (y – 3)² = 25.

Sabendo que o ponto (3, b) pertence à circunferência, temos que:

3² + (b – 3)² = 25 → 9 + (b – 3)² = 25 → (b – 3)² = 25 – 9 → (b – 3)² = 16

b – 3 = 4 → b = 4 + 3 → b = 7

b – 3 = – 4 → b = – 4 + 3 → b = – 1

O valor da coordenada b pode ser –1 ou 7.

Sabendo que o ponto A(1 ,1) pertence à circunferência e que o centro possui coordenadas C(2, 1), temos que a distância entre A e C é o raio da circunferência. Dessa forma temos que d(A, C) = r.

Se o raio da circunferência é igual a 1 e o centro é dado por (2, 1), temos que a equação da circunferência é dada por: (x – 2)² + (y – 1)² = 1.

Vamos obter os pontos de intersecção da reta e da circunferência através da resolução do seguinte sistema de equações:

Resolvendo o sistema por substituição:

2x + y = 20

y = 20 – 2x

Substituindo y na 2ª equação:

x² + y² = 400

x² + (20 – 2x)² = 400

x² + 400 – 80x + 4x² = 400

5x² – 80x + 400 – 400 = 0

5x² – 80x = 0

5x * (x – 16) = 0

5x = 0

x’ = 0

x – 16 = 0

x’’ = 16

Substituindo x = 0 e x = 16, na equação y = 20 – 2x:

x = 0

y = 20 – 2 * 0

y = 20 

S = {0, 20}

x = 16

y = 20 – 2 * 16

y = 20 – 32

y = – 12

S = {16, –12}

Os pontos de intersecção são: {0, 20} e {16, –12}. Vamos agora estabelecer a distância entre eles:

A distância entre os pontos de intersecção da reta e da circunferência é igual a 16√5.

Resolvendo o sistema , determinaremos se possuem pontos em comum.

Resolvendo o sistema por Adição:

– 2x – 2y – 6 = 0  → – x – y – 3 = 0 → –y = x + 3 → y = – 3 – x

Substituindo y em qualquer das equações:

x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0

x² + (–3–x)² – 4x – 8y – 5 = 0

x² + x² + 6x + 9 – 4x + 8x + 24 – 5 = 0

2x² + 10x + 28 = 0

Resolvendo a equação por Bháskara:

∆ = b² – 4ac

∆ = 10² – 4 * 2 * 28

∆ = 100 – 224

∆ = – 124

Em razão de ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. Logo, as circunferências não possuem pontos em comum.

Resolver o sistema de equações: 

Temos pela 1ª equação que x² + y² = 16, então:

x² + y² + 4y = 0 → 16 + 4y = 0 → 4y = – 16 → y = –16/4 → y = –4

x² + y² = 16 → x² + (–4)² = 16 → x² + 16 = 16 → x² = 16 – 16 → x² = 0 → x = 0

O ponto de intersecção das circunferências é {0, – 4}.