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Exercícios sobre Circunferência: Posições Relativas

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Circunferência: Posições Relativas e veja a resolução comentada.


Por Marcos Noé Pedro da Silva
  • Questão 1

    O centro de uma circunferência é o ponto médio do segmento AB, sendo A(4; –7) e      B(–8; –3). Se o raio dessa circunferência é 3, determine sua equação.

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  • Questão 2

    (PUC-SP) O ponto P(3, b) pertence à circunferência de centro no ponto C(0, 3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b.

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  • Questão 3

    (FEI-SP) Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2, 1) e que passa pelo ponto A(1, 1).

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  • Questão 4

    (ITA-SP) Qual a distância entre os pontos de intersecção da reta   com a circunferência x² + y² = 400?

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  • Questão 5

    Dada as equações das circunferências λ1 : x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0 e λ2 : x² + y² – 2x – 6y + 1 = 0, determine se elas possuem pontos em comum.

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  • Questão 6

    Temos que duas circunferências de equações λ1: x² + y² = 16 e λ2: x² + y² + 4y = 0 são tangentes, isto é, possuem um ponto em comum. Determine a coordenada desse ponto.

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Respostas


  • Resposta Questão 1

    Calculando o centro C através da equação do ponto médio de um segmento:

    Coordenadas A(4; –7) e   B(–8; –3).

    De acordo com a lei de formação da equação de uma circunferência (x – a)² + (y – b)² = r², temos que de acordo com o ponto médio o centro da circunferência é (–2; –5), isto é,

    a = –2 e b = –5. Então:

    (x + 2)² + (y + 5)² = 3²

    (x + 2)² + (y + 5)² = 9

    A equação da circunferência é dada por (x + 2)² + (y + 5)² = 9.

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  • Resposta Questão 2

    A equação da circunferência que possui centro C(0, 3) e raio r = 5 é dada por:

    (x – 0)² + (y – 3)² = 5² → x² + (y – 3)² = 25.

    Sabendo que o ponto (3, b) pertence à circunferência, temos que:

    3² + (b – 3)² = 25 → 9 + (b – 3)² = 25 → (b – 3)² = 25 – 9 → (b – 3)² = 16

    b – 3 = 4 → b = 4 + 3 → b = 7

    b – 3 = – 4 → b = – 4 + 3 → b = – 1

    O valor da coordenada b pode ser –1 ou 7.

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  • Resposta Questão 3

    Sabendo que o ponto A(1 ,1) pertence à circunferência e que o centro possui coordenadas C(2, 1), temos que a distância entre A e C é o raio da circunferência. Dessa forma temos que d(A, C) = r.

    Se o raio da circunferência é igual a 1 e o centro é dado por (2, 1), temos que a equação da circunferência é dada por: (x – 2)² + (y – 1)² = 1.

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  • Resposta Questão 4

    Vamos obter os pontos de intersecção da reta e da circunferência através da resolução do seguinte sistema de equações:

    Resolvendo o sistema por substituição:

    2x + y = 20

    y = 20 – 2x

    Substituindo y na 2ª equação:

    x² + y² = 400

    x² + (20 – 2x)² = 400

    x² + 400 – 80x + 4x² = 400

    5x² – 80x + 400 – 400 = 0

    5x² – 80x = 0

    5x * (x – 16) = 0

     

    5x = 0

    x’ = 0

    x – 16 = 0

    x’’ = 16

    Substituindo x = 0 e x = 16, na equação y = 20 – 2x:

    x = 0

    y = 20 – 2 * 0

    y = 20 

    S = {0, 20}

    x = 16

    y = 20 – 2 * 16

    y = 20 – 32

    y = – 12

    S = {16, –12}

    Os pontos de intersecção são: {0, 20} e {16, –12}. Vamos agora estabelecer a distância entre eles:

    A distância entre os pontos de intersecção da reta e da circunferência é igual a 16√5.

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  • Resposta Questão 5

    Resolvendo o sistema , determinaremos se possuem pontos em comum.

    Resolvendo o sistema por Adição:

    – 2x – 2y – 6 = 0  → – x – y – 3 = 0 → –y = x + 3 → y = – 3 – x

    Substituindo y em qualquer das equações:

    x² + y² – 4x – 8y – 5 = 0

    x² + (–3–x)² – 4x – 8y – 5 = 0

    x² + x² + 6x + 9 – 4x + 8x + 24 – 5 = 0

    2x² + 10x + 28 = 0

    Resolvendo a equação por Bháskara:

    ∆ = b² – 4ac

    ∆ = 10² – 4 * 2 * 28

    ∆ = 100 – 224

    ∆ = – 124

    Em razão de ∆ < 0, a equação não possui raízes reais. Logo, as circunferências não possuem pontos em comum.

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  • Resposta Questão 6

    Resolver o sistema de equações: 

    Temos pela 1ª equação que x² + y² = 16, então:

    x² + y² + 4y = 0 → 16 + 4y = 0 → 4y = – 16 → y = –16/4 → y = –4

    x² + y² = 16 → x² + (–4)² = 16 → x² + 16 = 16 → x² = 16 – 16 → x² = 0 → x = 0

    O ponto de intersecção das circunferências é {0, – 4}.

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  • quinta-feira | 10/07/2014 | aghata

    qual a resposta de a) (x+2)² + y² = 16 b) x² + y² = 25 ????

  • quinta-feira | 09/01/2014 | lidy

    adorei e muito bom obrigado!!!!!!!!!

  • sábado | 14/12/2013 | Erika

    Adorei !!!!!!!





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