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Exercícios sobre Divisão de Números Complexos

Para resolver estes exercícios sobre divisão de números complexos, é necessário aplicar a ideia de conjugado de um número complexo e a propriedade distributiva da multiplicação.


Por Amanda Gonçalves Ribeiro
  • Questão 1

    Determine o valor do quociente dos números complexos z1 e z2, sabendo que z1 = 2 – 3i e z2 = – 1 + 2i.

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  • Questão 2

    Escreva, na forma complexa z = a + bi, o número complexo:

    z = (5 + 2i) . (2 – i)
       
    3 + i

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  • Questão 3

    (Cefet – PR) A expressão , na qual i é a unidade imaginária, é igual a:

    a)  1 - i  -     2i   
         1 + i    1 + 3i

    b) 3 + i
           2

    c) 1 + 2i

    d) – 1 – 2i

    e) 2 + 4i
            5

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  • Questão 4

    (UFRS) A forma a + bi de z = 1 + 2i é:
                                                     1 - i

    a) 1 + 3 i
        2    2

    b) - 1 + 3 i
           2    2

    c) - 1 + 2 i
           2    3

    d) - 1 - 2 i
           2   3

    e)  1 - 3 i
         2    2

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Respostas


  • Resposta Questão 1

    Representando esse quociente como fração, temos z1 como numerador e z2 como denominador. Para determinar o quociente, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado deste. Temos então:

    z1 =   2 – 3i 
    z2    – 1 + 2i

    z1 =   (2 – 3i ) . (– 1 – 2i)  
      z2      (– 1 + 2i) . (– 1 – 2i)   

    z1 = – 2 + 3i – 4i + 6.i²
    z2         (– 1)² – (2i)²      

    z1 = – 2 + 3i – 4i – 6
    z2          1 – (– 4)       

    z1 = – 8 – i
    z2         5    

    Portanto, o quociente entre os complexos z1 e z2 é - 8 + i.
                                                                                          5

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  • Resposta Questão 2

    Primeiramente, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicação no numerador da fração:

    z = 10 + 4i – 5i – 2i²
         
    3 + i

    z = 10 – i – 2.(– 1)
        
    3 + i

    z = 10  i + 2
       
    3 + i

    z = 12 – i
          
    3 + i

    Para realizar a divisão, vamos multiplicar as duas partes da fração pelo conjugado do denominador:

    z = (12 – i).(3 – i)
           
    (3 + i).(3 – i)

    z = 36 12i – 3i + i²
          
    9 – i²

    z = 36 – 15i + (– 1)
         
    9 – (– 1)

    z = 36 – 15i – 1
        9 + 1

    z = 35  15i
         
    10

    z =  3i
         
    2

    Portanto, na forma complexa, temos z = 7/2 3i/2.

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  • Resposta Questão 3

    Vamos separar a expressão, logo: A =  e B =  . No fim da resolução, faremos A – B. Agora calculamos a divisão de números complexos que ocorre em A, multiplicando a fração pelo conjugado do denominador:

    A = 1 – i . 1 – i
           
    1 + i   1 – i

    A =        (1 – i)²     
           (1 + i).(1 – i)

    A = 1 – 2.i – 1
          
    1 – (– 1)

    A = – 2.i
          
    2

    A = – i

    Agora que já encontramos o valor de A, vamos utilizar o mesmo processo para determinar o valor de B:

    B =      2i    .    1 – 3i  
           1 + 3i       1 – 3i

    B =        2i.(1 – 3i)      
           (1 + 3i).(1 – 3i)

    B =    2i + 6  
           
    1 – (– 9)

    B = 6 + 2i
          
    10

    B = 3 + i
          
    5

    Agora já podemos resolver a expressão:

    A – B = – i – 3 + i
                        
    5

    A – B = – 5i – (3 + i)
                 5

    A – B = – 5i – 3 – i
               
    5

    A – B = – 3 – 6i
                
    5

    Portanto, a alternativa correta é a letra a.

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  • Resposta Questão 4

    Para calcular a divisão de números complexos que ocorre em z, multiplicamos o numerador e o denominador de z pelo conjugado do denominador, isto é:

    z = 1 + 2i . 1 + i
           
    1 – i    1 + i

    z = (1 + 2i).(1 + i)
          
    (1 – i).(1 + i)

    z = 1 + 2i + i + 2.i²
            
    1 – i²

    z = 1 + 3i – 2
          
    1 – (– 1)

    z = – 1 + 3i
          
    2

    z = – 1 + 3 i
           
    2    2

    Logo, a alternativa correta é a letra b.

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Leia o artigo relacionado a este exercício e esclareça suas dúvidas
  • quarta-feira | 20/08/2014 | Godknows carlos

    Gente eu preciso de mais informaçoes sobre numeros complexo deuma forma simples para legivel favor me ajudem

  • sexta-feira | 22/08/2014 | Amanda Gonçalves
    1 0

    Olá! Confira nossa seção sobre Números Complexos, e saiba mais sobre esse assunto! http://www.brasilescola.com/matematica/numeros-complexos.htm





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