Exercícios sobre Inequação Modular
Resolva a desigualdade:
| x – 2 | ≥ x
Utilizando uma das propriedades de inequação modular, temos que se |y| ≥ k, então y2 ≥ ≥ k2. Portanto:
(x – 2)2 ≥ x2
Vamos resolver essa inequação de duas formas distintas, primeiramente faremos:
x2 – 4x + 4 ≥ x2
x2 – x2 – 4x + 4 ≥ 0
– 4x + 4 ≥ 0
– 4x ≥ – 4
(–1). – 4x ≥ – 4 .(–1)
4x ≤ 4
x ≤ 4
4
x ≤ 1
Faremos agora:
x2 – 4x + 4 < – x2
2x2 – 4x + 4 < 0
x2 – 2x + 2 < 0
∆ = – 8
Essa inequação não possui raízes reais.
Portanto, os únicos valores que satisfazem a desigualdade | x – 2 | ≥ x são os valores de x menores ou iguais a 1.
Resolva a inequação modular a seguir:
|2x + 1| > x + 5
Inicialmente precisamos determinar os valores do módulo, isto é, o módulo |2x + 1| poderá assumir duas resoluções a depender do valor de x, são elas:
|2x + 1| = 2x + 1 se x > – 1
2
|2x + 1| = –2x – 1 se x < – 1
2
Temos então que analisar essas duas possibilidades, portanto:
1) Se x > – ½, a inequação ficará:
2x + 1 > x + 5
2x – x + 1 > 5
x + 1 > 5
x > 5 – 1
x > 4
2) Se x < – ½, a inequação ficará:
– 2x – 1 > x + 5
– 2x – x – 1 > 5
– 3x – 1 > 5
– 3x > 5 + 1
(–1). – 3x > 6 . (–1)
3x < – 6
x < – 6
3
x < – 2
Portanto, os valores que satisfazem essa inequação são valores de x tais que – 2 > x > 4
(FGV – SP) Multiplicando os valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as desigualdades |x – 2| ≤ 3 e |3x – 2| > 5, obtemos:
a) 12
b) 60
c) – 12
d) – 60
e) 0
Vamos resolver cada inequação separadamente para depois comparar suas soluções:
| x – 2 | ≤ 3
– 3 ≤ x – 2 ≤ 3
– 3 + 2 ≤ x ≤ 3 + 2
– 1 ≤ x ≤ 5
A primeira inequação é satisfeita pelos valores de – 1 ≤ x ≤ 5. Vamos então resolver a segunda inequação:
|3x – 2| > 5
– 5 > 3x – 2 > 5
– 5 + 2 >3x > 5 + 2
– 3 > 3x > 7
– 3 > x > 7
3 3
– 1 > x > 2,333...
Os valores que satisfazem a segunda inequação são valores de x tais que x < – 1 e x > 2,333...
O exercício questiona acerca dos valores inteiros de x que satisfazem simultaneamente as duas inequações. Os únicos valores que obedecem a essa exigência são os valores de 3, 4 e 5. O produto entre eles é dado por:
3 . 4 . 5 = 60
A alternativa correta é a letra b.
(Ibmec – RJ) A soma dos números naturais que pertencem ao conjunto solução da inequação | x – 4 | ≥ x é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 6
e) 10
Para resolver essa inequação, vamos elevar ao quadrado ambos os membros da inequação:
(x – 4)2 ≥ x2
x2 – 8x + 16 ≥ x2
– 8x + 16 ≥ x2 – x2
– 8x + 16 ≥ 0
– 8x ≥ – 16
– x ≥ – 16
8
(– 1). – x ≥ – 2 .(–1)
x ≤ 2
ou
(x – 4)2 < – x2
x2 – 8x + 16 < – x2
x2 + x2 – 8x + 16 < 0
2x2 – 8x + 16 < 0
x2 – 4x + 8 < 0
∆ = – 16
Essa inequação não possui raízes reais.
Portanto, a equação é satisfeita para qualquer valor de x que seja menor ou igual a 2. Mas como o enunciado do exercício fala “na soma dos números naturais que pertencem ao conjunto solução”, trata-se apenas dos valores 0, 1 e 2, e a soma desses valores é 3. Portanto, a alternativa correta é a letra c.
