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Exercícios sobre Números Binomiais

Na resolução de exercícios sobre números binomiais, aplicamos o binômio de Newton para determinar quaisquer elementos do desenvolvimento dos binômios.


Por Amanda Gonçalves Ribeiro
  • Questão 1

    Qual é o 6° termo do desenvolvimento do binômio de Newton (a – 1)6?

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  • Questão 2

    Determine o termo médio (ou central) no desenvolvimento do número binomial (a – 2)9.

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  • Questão 3

    (FGV) A soma dos coeficientes do desenvolvimento de (2x+ y)5 é igual a:

    a) 81

    b) 128

    c) 243

    d) 512

    e) 729

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  • Questão 4

    (FEI) A soma de todos os coeficientes do desenvolvimento de (14x – 13y)237 é:

    a) 0

    b) 1

    c) – 1

    d) 222.237

    e) 1.973.747

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Respostas


  • Resposta Questão 1

    Se desejamos saber o 6° termo do binômio de Newton, consideramos k = 5, n = 6, x = a e y = – 1. Logo:

    T5 + 1 = .a6 – 5.(– 1)5

    T6 =        6!     .a1.(– 1)
    5! (6 – 5)!     

    T6 = 6 . 5! .a.(– 1)
    5!. 1!     

    T6 = – 6.a5

    Portanto, o sexto termo do desenvolvimento do binômio (a – 1)6 é – 6.a5.

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  • Resposta Questão 2

    Considerando que o primeiro termo é (a – 2)0, sabemos que esse binômio possui dez termos. Logo precisamos determinar o 5° termo, isto é, estamos procurando T5. Para tanto, temos k = 4, n = 9, x = a e y = – 2.

    T4 + 1 = .a9 – 4.(– 2)4

    T5 =       9!     .a5. 24
    4! (9 – 4)!   

    T5 = 9 . 8 . 7 . 6 . 5! .a5. 16
    (4. 3 . 2 .1). 5!   

    T5 = 9 . 8 . 7 . 6 .a5. 16
    24   

    T5 = 48384.a5
      24

    T5 = 2016.a5

    O termo central do número binomial (a – 2)9 é 2016.a5.

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  • Resposta Questão 3

    Para determinar a soma dos coeficientes do desenvolvimento de binômios como esse, basta considerar x = 1 e y = 1. Dessa forma, teremos:

    (2x + y)5 = (2.1 + 1)5 = (3)5 = 243

    O valor encontrado de 243 corresponde exatamente à soma dos coeficientes de (2x + y)5, portanto, a alternativa correta é a letra c.

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  • Resposta Questão 4

    Para determinar a soma dos coeficientes do desenvolvimento de um número binomial, não é necessário utilizar a fórmula-padrão do binômio de Newton, basta considerar as variáveis como 1, isto é, basta fazer x = 1 e y = 1. Dessa forma, teremos:

    (14x – 13y)237 = (14.1 – 13.1)237 = (14 – 13)237 = 1237 = 1

    Sendo assim, podemos identificar que a soma dos coeficientes de (14x – 13y)237 é 1. Logo, a alternativa correta é a letra b.

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