Exercícios sobre operações com conjuntos
Dado o conjunto A e B, temos que A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, que A – B = {1, 2, 10}, e que A ∩ B = {6, 8, 16}, assim, o conjunto B é igual a:
A) B = {1, 2, 6, 8, 10, 16}
B) B = {1, 2, 10, 16}
C) B = {6, 8, 12, 14, 16}
D) B = {12, 4, 8, 10, 12, 14}
E) B = {4, 6, 8, 12, 14, 16}
Alternativa E. Sabemos que A U B = {1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}, além disso, sabemos que os elementos exclusivos de A, ou seja, elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B, são A – B = {1, 2, 10}. Conhecemos também os elementos que pertencem aos dois conjuntos A ∩ B = {6, 8, 16}.
Então o conjunto B é composto pelos elementos da intersecção e pelos elementos que não pertencem ao conjunto A – B, são eles:
B = {4, 6, 8, 12, 14, 16}
Em uma escola de formação de condutores, constatou-se que todos os 34 alunos estavam tirando a primeira carteira nacional de habilitação (CNH). O professor perguntou quantos estavam ali para tirar a CNH da categoria A, e 12 estudantes levantaram a mão, posteriormente, ele perguntou quantos estavam ali para obter CNH da categoria B, e 29 levantaram a mão, sendo assim, a quantidade de candidatos que pretendem tirar somente a CNH da categoria A é:
A) 22
B) 7
C) 5
D) 19
E) 10
Alternativa C. Sabemos que há um total de 34 alunos, mas que 29 deles estão tirando CNH para a categoria B e 12 estão tirando para a categoria A. Realizando a soma 29 + 12 = 41, note que há 7 a mais, pois 41 – 34 = 7, isso significa que há 7 alunos que pertencem à intersecção, ou seja, vão tirar as duas CNH. Sendo assim, para encontrar a quantidade de pessoas que vão tirar exclusivamente a CNH categoria A, basta subtrair 12 – 7 = 5
Em uma escola de idiomas que oferece formação para vários tipos de línguas, foi feita uma pesquisa para saber o número de estudantes matriculados em espanhol, inglês e alemão e outros idiomas. Os dados foram anotados na tabela a seguir:
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Idioma |
Quantidade |
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Inglês |
110 |
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Espanhol |
84 |
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Alemão |
32 |
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Inglês e Espanhol |
30 |
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Inglês e Alemão |
20 |
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Alemão e Espanhol |
6 |
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Inglês, Espanhol e Alemão |
2 |
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Outros |
45 |
O total de alunos que participaram da pesquisa foi:
A) 172
B) 217
C) 329
D) 300
E) 229
Alternativa B. Para encontrar o total de estudantes consultados, primeiro precisamos lembrar que, ao realizar a soma direta dos resultados da tabela, estaríamos contando mais de uma vez o mesmo estudante, pelo fato de existir interseção. Então sabemos que há a intersecção de todos os conjuntos, que, nesse caso, possui 2 elementos que pertencem aos três conjuntos ao mesmo tempo.
Posteriormente preenchemos com os elementos que pertencem somente a dois conjuntos ao mesmo tempo. Ao pegar os dados na tabela, é necessário realizar a subtração dos 2 elementos que já foram contados por pertencerem aos três conjuntos.
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Inglês, Espanhol e Alemão |
2 |
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Somente Inglês e Espanhol |
30 – 2 = 28 |
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Somente Inglês e Alemão |
20 – 2 = 18 |
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Somente Alemão e Espanhol |
6 – 2 = 4 |
Agora encontraremos os termos exclusivos, ou seja, que pertencem somente a um dos conjuntos. Nesse caso, é necessário realizar a subtração dos elementos que já foram contados, por exemplo, no de Inglês. Vamos subtrair todos os elementos das intersecções, ou seja, quem faz somente Inglês e Espanhol, quem faz somente Inglês e Alemão e quem faz os três cursos. Para Espanhol e Alemão, usamos o mesmo raciocínio, então teremos:
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Somente Inglês |
110 – 28 – 18 – 2 = 62 |
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Somente Espanhol |
84 – 28 – 4 – 2 = 50 |
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Somente Alemão |
32 – 18 – 4 – 2 = 8 |
Além desses valores, há 45 estudantes que escolheram outros.
Agora realizaremos a soma dos valores encontrados:
Total = 2 + 28 + 18 + 4 + 62 + 50 + 8 + 45 = 217
(PUC) Em um colégio, de 100 alunos, 80 gostam de sorvete de chocolate, 70 gostam de sorvete de creme e 60 gostam dos dois sabores. Quantos alunos não gostam de nenhum dos dois sabores?
A) 0
B) 10
C) 20
D) 30
E) 40
Alternativa B. Sabemos que o total de alunos é igual a 100, e que dos 80 que gostam de chocolate, 60 gostam também de creme, então 80 – 60 = 20 que gostam somente de chocolate. Com esse mesmo raciocínio 70 – 60 = 10, então 10 gostam somente de creme. Sendo assim, vamos somar o total de alunos que gostam somente de chocolate, somente de creme e de ambos:
20 + 60 + 10 = 90
Como 100 alunos foram consultados, então 100 – 90 = 10.
10 não gostam de nenhum dos dois.
(UFSE) Os senhores A, B e C concorriam à liderança de certo partido político. Para escolher o líder, cada eleitor votou apenas em dois candidatos de sua preferência. Houve 100 votos para A e B, 80 votos para B e C, e 20 votos para A e C. Em consequência:
A) venceu A, com 120 votos.
B) venceu A, com 140 votos.
C) A e B empataram em primeiro lugar.
D) venceu B, com 140 votos.
E) venceu B, com 180 votos.
Alternativa E.
Vamos analisar a quantidade de votos que cada candidato recebeu:
A → n(AUB) = 100 e n(AUC) = 20
A = 100 + 20 = 120 votos
B → n(AUB) = 100 e n(BUC) = 80
B = 100 + 80 = 180 votos
C → n(AUC) = 20 e n(BUC) = 80
C = 20 + 80 = 100 votos
Analisando o total de votos, sabemos que o candidato B foi o mais votado.
(Mackenzie) Sendo A = {1, 2, 3, 5, 7, 8} e B = {2, 3, 7}, então o complementar de B em A é:
A) ▯
B) {8}
C) {8, 9, 10}
D) {9, 10, 11...}
E) {1, 5, 8}
Alternativa E. O complementar de B em relação ao conjunto A são os elementos exclusivos do conjunto A, ou seja, A – B:
A – B = {1, 5, 8}
(Enem) No dia 17 de maio passado, houve uma campanha de doação de sangue em uma universidade. Sabemos que o sangue das pessoas pode ser classificado em quatro tipos quanto a antígenos. Uma pesquisa feita com um grupo de 100 alunos da universidade constatou que 42 deles têm o antígeno A, 36 têm o antígeno B, e 12 o antígeno AB. Sendo assim, podemos afirmar que o número de alunos cujo sangue tem o antígeno O é:
A) 20 alunos
B) 26 alunos
C) 34 alunos
D) 35 alunos
E) 36 alunos
Alternativa C.
Sabendo que havia um total de 100 alunos, vamos encontrar o total de estudantes que possuem antígeno somente A, somente B e A∩B.
Sabemos que A∩B = 12
A – B (somente em A) = 42 – 12 = 30
B – A (somente em B) = 36 – 12 = 24
Somando temos um total de 12 + 30 + 24 = 66 estudantes, então os demais são O, como foram consultados 100 alunos:
100 – 66 = 34
Dado o conjunto A = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, B = {9, 10, 11, 12} e C = {5, 7, 9, 11, 13}, os elementos do conjunto (A∩B)UC são:
A) {5,7,9,11,13}
B) {5,7,9,10}
C) {3,4,5,7,11,13}
D) {5,7,9,10,11,13}
E) {3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13}
Alternativa D.
Primeiro encontraremos A∩B.
A∩B = {9, 10}
Agora faremos a união de (A∩B)UC = {5, 7, 9, 10, 11, 13}
A seguir, há a representação de um diagrama formado pelo conjunto A e B.
Analisando a imagem, podemos afirmar que a região destacada em rosa pode ser descrita por:
A) Elementos que pertencem ao conjunto A.
B) Elementos que pertencem à intersecção de A com B.
C) Elementos que pertencem somente ao conjunto A.
D) Elementos que pertencem ao complementar de A.
E) Elementos que não pertencem ao conjunto A.
Alternativa C. A parte em destaque corresponde aos elementos que pertencem somente ao conjunto A.
Analisando os diagramas a seguir, assinale a alternativa que representa o conjunto (AUB) – (A∩B):
Alternativa C. Note que, em vermelho, estão os elementos que pertencem somente ao conjunto A e os elementos que pertencem somente ao conjunto B, e que somente a intersecção entre A e B não está em destaque.
Dados os conjuntos A, B e C, cujos termos possuem as seguintes características:
A → conjunto dos números pares
B → conjunto dos números ímpares
C → conjunto dos múltiplos de 4
Julgue as afirmativas a seguir:
I – A está contido em C.
II – C está contido em A.
III – A intersecção entre A e B é igual ao conjunto vazio.
A) Somente I e II são verdadeiras.
B) Somente II e III são verdadeiras.
C) Somente I e III são verdadeiras.
D) Somente I é verdadeira.
E) Todas as afirmativas são verdadeiras.
Alternativa B
I → falsa, pois nem todo número múltiplo de 2 é múltiplo de 4.
II → verdadeira, pois todos os números múltiplos de 4 são múltiplos de 2.
III → verdadeira, pois não existe um número que seja ímpar e par simultaneamente.
Analise o diagrama a seguir:
A região destacada em azul pode ser descrita pela operação:
A) A – B – C
B) AUB – C
C) A∩C – B
D) A∩B – C
E) A∩B∩C
Alternativa C. Analisando o diagrama, é possível perceber que a região em destaque corresponde à intersecção entre os conjuntos A e B menos os elementos que pertencem ao conjunto C.
