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Exercícios sobre Equação Polinomial

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Equação Polinomial e veja a resolução comentada.


Por Mariana Araguaia
  • Questão 1

    Sabendo que 12 é raiz de p(x) = x² – mx + 6, determine o valor de m.

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  • Questão 2

    Dados os polinômios p(x) = (a – 1)² – (a – b)x + (2a – b + c) e q(x) = 4x² – 5x + 1, determine a, b e c para que tenhamos p(x) = q(x).

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  • Questão 3

    Fornecido o polinômio p(x) = 2x³ – 6x² + mx + n, se p(2) = 0 e p(–1) = –6, determine os valores de m e n.  

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  • Questão 4

    (MACK–SP)

    Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m – 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x + 4 seja do 2º grau. 

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  • Questão 5

    (FEI–SP)

    Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2. 

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  • Questão 6

    (PUC–SP)

    Determine os valores de m, n e p de modo que se tenha
    (m + n + p)x4 – (p + 1)x³ + mx² + (n –p)x + n = 2mx³ + (2p + 7)x² + 5mx + 2m.

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Respostas


  • Resposta Questão 1

    Temos que p(x) = x² – mx + 6, dessa forma vamos determinar p(12) = 0 no intuito de calcular o valor de m.

    p(12) = 12² – m * 12 + 6
    p(12) = 144 – 12m + 6 
    144 – 12m + 6 = 0
    –12m = – 150
    m = 150/12
    m = 25/2

    O valor de m no polinômio quando p(12) = 0 é 25/2.

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  • Resposta Questão 2

    p(x) = q(x)
    (a – 1)² – (a – b)x + (2a – b + c) = 4x² – 5x + 1

    a – 1 = 4
    a = 3

    – (a – b) = –5
    – (5 – b) = – 5
    – 5 + b = –5
    b = 5 – 5
    b = 0

    2a – b + c = 1
    10 – 0 + c = 1
    c = 1 – 10
    c = – 9

    Portanto, para que os polinômios sejam iguais, os coeficientes devem valer: a = 3, b = 0 e c = –9.

     

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  • Resposta Questão 3

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  • Resposta Questão 4

    As condições para que o polinômio dado seja do 2º grau são as seguintes:

    m – 4 = 0
    m = 4

    m² – 16 ≠ 0
    m² ≠ 16
    m ≠ 4 e m ≠ – 4

    Para m = 4, temos:
    p(x) = (m – 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x + 4
    p(x) = (4 – 4)x³ + (4² – 16)x² + (4 + 4)x + 4
    p(x) = 0x³ + 0x² + 8x + 4
    p(x) = 8x + 4
    Grau 1

    Para m = –4, temos:
    p(x) = (–4 – 4)x³ + ((–4)² – 16)x² + (–4 + 4)x + 4
    p(x) = –8x³ + 0x² + 0x + 4
    p(x) = –8x³ + 4
    Grau 3

    Não existe valor para m de forma que p(x) tenha grau 2.
     

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  • Resposta Questão 5

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  • Resposta Questão 6

    (m + n + p)x4 – (p + 1)x³ + mx² + (n –p)x + n = 2mx³ + (2p + 7)x² + 5mx + 2m.

    m + n + p = 0

    –(p + 1) = 2m

    m = 2p + 7

    n – p = 5

    n = 2m


    –(p + 1) = 2m
    –p –1 = 2 * (2p + 7)
    –p –1 = 4p + 14
    –p –4p = 14 + 1
    –5p = 15
    5p = –15
    p = –3

    m = 2p + 7
    m = 2 * (–3) + 7
    m = – 6 +7
    m = 1

    n = 2m
    n = 2 * 1
    n = 2

    Portanto, os valores de p, m e n são respectivamente –3, 1 e 2.

     

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