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Exercícios sobre Multiplicação de Matrizes

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Multiplicação de Matrizes e veja a resolução comentada.


Por Gabriel Alessandro de Oliveira
  • Questão 1

    UFSC

    Sejam A=(aij )4x3 e  B=(bij )3x4 duas matrizes definidas por aij=i+j   e bij=2i+j, respectivamente. Se A.B=C, então qual é o elemento c32 da matriz C?
     

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  • Questão 2

    Encontre o valor de x e y resolvendo a seguinte igualdade.

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  • Questão 3

    Determine os valores de a e b para que as matrizes sejam comutativas.

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  • Questão 4

    FGV-SP (questão adaptada)

    , de forma que At.B é uma matriz nula, calcule x.y2

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  • Questão 5

    (Fuvest-SP)
    Uma matriz real A é ortogonal se A.At=I, onde I indica a matriz identidade e At indica a transposta de A.

    a)  1/4 

    b) √3/4

    c) 1/2

    d) √3/2 

    e) 3/2

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Respostas


  • Resposta Questão 1

    O elemento requerido é o da terceira linha e da segunda coluna, que é resultado de uma multiplicação de duas matrizes. Sabemos pela propriedade de multiplicação que este elemento é proveniente da multiplicação da terceira linha da matriz A pela segunda coluna da matriz B. Portanto, precisamos escrever apenas estes elementos.

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  • Resposta Questão 2

    Ao resolvermos a multiplicação do lado esquerdo da igualdade, obteremos uma matriz-produto, de forma que poderemos igualar a matriz-produto à matriz do lado direito da igualdade.

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  • Resposta Questão 3

    A propriedade da comutatividade diz que dois elementos são comutativos quando a seguinte igualdade é verdadeira: A.B = B.A.
    Façamos isto com nossas matrizes:

     

    Basta obtermos o produto de cada lado da igualdade:

     

    Igualando os dois produtos:

    Não é preciso fazer a igualdade de todos os elementos, basta escolhermos os elementos que possuem apenas um dos valores, para facilitar os cálculos:

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  • Resposta Questão 4

    Temos que encontrar a matriz transposta de A.

    Temos que 

    Resolvendo a multiplicação das matrizes, temos:

    A questão pede o valor de x.y², agora que obtemos o valor de cada um podemos resolver essa expressão.

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  • Resposta Questão 5

    Devemos primeiramente calcular o produto da matriz A pela sua matriz transposta, igualando-as à matriz identidade.

    Como a matriz é ortogonal, temos que A.AT=I.
    Com isso,

    Com estas informações podemos montar um sistema através da igualdade de matrizes.

     

    Da primeira equação obtemos que o valor de x é igual a: 

    Substituindo este valor na segunda equação obtemos uma expressão para z. 

    Substituindo na terceira equação o valor de z, temos:

    A questão pede o valor de x²+y². Como sabemos o valor de cada um, é possível calcular este resultado:

    Resposta letra E

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