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Exercícios sobre Polinômios

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Polinômios e veja a resolução comentada.


Por Marcos Noé Pedro da Silva
  • Questão 1

    Considerando que p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k, para que valores de k temos p(2) = 4? 

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  • Questão 2

    Determine o valor de a e b no polinômio p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1, sabendo que 1 é raiz do polinômio e p(2) = 25.

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  • Questão 3

    Temos que a raiz do polinômio p(x) = x² – mx + 6 é igual a 6. Calcule o valor de m.

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  • Questão 4

    (FEI–SP)

    Determine A, B e C na decomposição

     

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  • Questão 5

    (FAAP–SP)

    Calcule os valores de a, b e c para que o polinômio  p(x) = a(x + c)³ + b(x + d) seja idêntico a p(x) = x³ + 6x² + 15x + 14.

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  • Questão 6

    (MACK – SP)

    Determine m Є R para que o polinômio p(x) = (m − 4)x³ + (m² – 16)x² + (m + 4)x +4 seja de grau 2.

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  • Questão 7

    (MACK – SP)

    Calcule os valores de m, n e l para os quais o polinômio p(x) = (2m – 1)x³ – (5n – 2)x² + (3 – 2l) é nulo.

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  • Questão 8

    (FEI – SP)

    Sendo p(x) = ax4 + bx³ + c e q(x) = ax³ – bx – c, determine os coeficientes a, b e c, sabendo que p(0) = 0, p(1) = 0 e q(1) = 2.

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  • Questão 9

    Quais são os valores de a e b considerando p(x) = – 4x³ + ax² + bx –18, onde 2 é raiz de p(x) e p(–1) = –18.

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Respostas


  • Resposta Questão 1

    p(x) = 2x³ – kx² + 3x – 2k
    p(2) = 4
    2 * 2³ – k * 2² + 3 * 2 – 2k = 4
    16 – 4k + 6 – 2k = 4
    – 4k – 2k = – 16 – 6 + 4
    – 6k = –18   *(–1)
    6k = 18
    k = 3

    Temos que o valor de k é igual a 3.
     

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  • Resposta Questão 2

    p(x) = x³ + ax² + (b – 18)x + 1
    Sabendo que 1 é raiz temos:
    p(1) = 0
    1³ + a * 1² + (b – 18) * 1 + 1 = 0
    1 + a + b – 18 + 1 = 0
    a + b = 16

    Fazendo p(2) = 25
    2³ + a * 2² + (b – 18) * 2 + 1 = 25
    8 + 4a + 2b – 36 + 1 = 25
    4a + 2b = 25 + 36 – 8 – 1
    4a + 2b = 52   :(2)
    2a + b = 26


    a + b = 16
    2a + b = 26

    a = 16 – b

    2 * (16 – b) + b = 26
    32 – 2b + b = 26
    – b = 26 – 32
    – b = – 6
    b = 6

    a = 16 – b
    a = 16 – 6
    a = 10

    Os valores de a e b são respectivamente 10 e 6.

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  • Resposta Questão 3

    p(x) = x² – mx + 6
    p(6) = 0
    6² – m * 6 + 6 = 0
    36 – 6m + 6 = 0
    – 6m = – 42  *(–1)
    6m = 42
    m = 42/6
    m = 7

    O valor de m que satisfaz as condições informadas é 7.
     

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  • Resposta Questão 4

    Os valores de A, B e C são respectivamente iguais a 1/3, –1/3 e –2/3.

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  • Resposta Questão 5

    a(x + c)³ + b(x + d) = x³ + 6x² + 15x + 14
    a(x³ + 3x²c + 3xc² + c³) + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14
    ax³ + 3x²ac + 3axc² + ac³ + bx + bd = x³ + 6x² + 15x + 14
    ax³ + 3x²ac + x(3ac² + b) + (ac³ + bd) = x³ + 6x² + 15x + 14

    a = 1
    3ac = 6
    3ac² + b = 15
    ac³ + bd = 14

    Dessa forma:

    3ac = 6
    3 * 1 * c = 6
    3c = 6
    c = 2

    3ac² + b = 15
    3 * 1 * 2² + b = 15
    12 + b = 15
    b = 3

    ac³ + bd = 14
    1 * 2³ + 3 * d = 14
    8 + 3d = 14
    3d = 14 – 8
    3d = 6
    d = 2

    Os números a, b e c são respectivamente 1, 3 e 2.
     

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  • Resposta Questão 6

    P(x) tenha grau 2, devemos respeitar as seguintes condições:

    m – 4 = 0
    m = 4

    m² – 16 ≠ 0
    m² ≠ 16
    m ≠ + 4 e – 4

    Para m = 4, temos:
    (4 – 4)x³ + (4² – 16)x² + (4 + 4)x + 4
    0x³ + 0x² + 8x + 4
    8x +4

    Para m = – 4, temos
    (–4 –4)x³ + [(–4)² – 16]x² + (–4 + 4)x + 4
    –8x³ + 0x² + 0x + 4
    –8x³ + 4

    Não existe valor para m de modo que o polinômio p(x) seja de grau 2.
     

     

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  • Resposta Questão 7

    2m – 1 = 0
    2m = 1
    m = 1/2

    5n – 2 = 0
    5n = 2
    n = 2/5

    3 – 2l = 0
    –2l = –3
    2l = 3
    l = 3/2

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  • Resposta Questão 8

    p(0) = 0 → a * 04 + b * 03 + c = 0 → c = 0

    p(1) = 0 → a * 14 + b * 13 + 0 = 0 → a + b = 0

    q(1) = 2 → a * 13 – b * 1 – 0 = 2 → a – b = 2

    Temos que a = 1, b = – 1 e c = 0

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  • Resposta Questão 9

    p(2) = –4 * (2)³ + a * 2² + b * 2 – 18
    0 = –4 * 8 + a * 4 + 2b – 18
    0 = –32 + 4a + 2b – 18
    4a + 2b = 50

    p(–1) = –18
    –4 * (–1)³ + a * (–1)² + b * (–1) – 18 = – 18
    –4 *(–1) + a * (1) – b – 18 = – 18
    4 + a – b – 18 = – 18
    a – b = – 18 + 18 – 4
    a – b = – 4

      

    Os valores de a e b são respectivamente 7 e 11.
     

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