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Exercícios sobre Posições relativas

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Posições relativas e veja a resolução comentada.


Por Marcos Noé Pedro da Silva
  • Questão 1

    Verifique o posicionamento da reta r, dada pela equação 2x + y – 1 = 0 em relação à circunferência de equação x² + y² + 6x – 8y = 0. 

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  • Questão 2

    Dada a reta s representada pela equação 2x – y + 1 = 0 e a circunferência de equação
    x² + y² – 2x = 0, determine a posição relativa entre elas.  

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  • Questão 3

    Determine o valor de w sabendo que a reta de equação x – y + w = 0 é tangente à circunferência de equação x² + y² = 9. 

     

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  • Questão 4

    (UFBA)

    Determine o comprimento da corda determinada pela intersecção da reta r, de equação x + y – 1 = 0, com a circunferência de equação x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0. 

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  • Questão 5

    (ITA-SP)

    A distância entre os pontos de intersecção da reta   com a circunferência x² + y² = 400 é:

    a) 16√5
    b) 4√5
    c) 3√3
    d) 4√3
    e) 5√7
     

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  • Questão 6

    (UFRS)

    O valor de k que transforma a equação x² + y² – 8x + 10y + k = 0 na equação de uma circunferência de raio 7 é:

    a) –4
    b) –8
    c)   5
    d    7
    e) –5
     

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Respostas


  • Resposta Questão 1

    Determinar as coordenadas do centro da circunferência é a medida do raio:

    x² + y² + 6x – 8y = 0
    x² + 6x + y² – 8y = 0

    x² + 6x →  completando o trinômio
    x² + 6x + 9 = (x + 3)²

    y² – 8y → completando o trinômio
    y² – 8y + 16 = (y – 4)²

    x² + 6x + y² – 8y = 0
    x² + 6x + 9 + y² – 8y + 16 = 9 + 16
    (x + 3)² + (y – 4)² = 25

    A fórmula geral de uma equação da circunferência é dada por (x – a)² + (y – b)² = r², dessa forma:

    Coordenadas do centro: (–3; 4)
    Medida do raio: 5

    Determinando a distância entre o centro e a reta
    Reta r: 2x + y – 1 = 0

    Temos que a distância é menor que o raio, pois 1,3 < 5. Dessa forma, a reta é secante à circunferência.
     

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  • Resposta Questão 2

    Vamos estabelecer um sistema entre as duas equações:

    Reta: 2x – y + 1 = 0
    Circunferência: x² + y² – 2x = 0

    Resolvendo o sistema pelo método da substituição:

    Isolando y na 1ª equação:

    2x – y + 1 = 0
    – y = –1 – 2x
    y = 1 + 2x

    Substituindo y na 2ª equação:

    x² + (1 + 2x)² – 2x = 0
    x² + 1 + 4x + 4x² – 2x = 0
    5x² + 2x + 1 = 0

    ∆ = b² – 4ac
    ∆ = 2² – 4 * 5 * 1
    ∆ = 4 – 20
    ∆ = –16

    Quando ∆ < 0, a equação não possui raízes. Dessa forma o sistema não possuirá soluções. Portanto, a reta é externa à circunferência.
     

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  • Resposta Questão 3

    Se a reta é tangente à circunferência, temos que a distância do centro até a reta possui a mesma medida do raio.

    Em razão da equação x² + y² = 9, podemos dizer que o centro corresponde a (0; 0) e o raio igual a 3, pois x² + y² = 9 → (x + 0)² + (y + 0)² = 3².

    Distância do centro (0; 0) à reta x – y + w = 0, onde a = 1, b = –1 e c = w:


    Calculando w de acordo com d = r:

    O valor de w é igual a + 3√2 ou –3√2.

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  • Resposta Questão 4

    AB = medida da corda
    CM = distância entre centro e reta
    AM = metade da medida da corda → AB/2.


    No triângulo AMC aplicaremos o teorema de Pitágoras, mas para isso precisaremos determinar a distância CM e o raio da circunferência, dado por CA.

    Centro da circunferência

    x² + y² + 2x + 2y – 3 = 0
    x² + 2x + y² + 2y = 3
    x² + 2x + 1 + y² + 2y + 1 = 3 + 1 + 1
    (x + 1)² + (y + 1)² = 5

    Centro (–1, –1) e raio = √5.
    Reta: x + y – 1 = 0


    A medida da corda AB de acordo com a situação proposta é AB = √2.

     

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  • Resposta Questão 5

    Resolver o sistema de equações:

    Simplificando a 1ª equação:

    Substituindo x na 2ª equação:

    x² + y² = 400
    x² + (20 – 2x)² = 400
    x² + 400 – 80x + 4x² ¬– 400 = 0
    5x² – 80x = 0
    5x * (x – 16) = 0

    5x = 0
    x’ = 0

    x – 16 = 0
    x’’ = 16

    Para x = 0, temos:

    y = 20 – 2x
    y = 20 – 2*0
    y = 20

    (0; 20)

    Para x = 16, temos:

    y = 20 – 2x
    y = 20 – 2 * 16
    y = 20 – 32
    y = – 12

    (16; –12)

    Os pontos de intersecção são (0; 20) e (16; –12).

    Determinando a distância entre os pontos:

    Resposta item a.
     

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  • Resposta Questão 6

    x² + y² – 8x + 10y + k = 0

    Encontrar a equação reduzida (completar os trinômios)

    x² – 8x + y² + 10y = –k
    x² – 8x + 4 + y² + 10y + 25 = – k + 4 + 25
    (x – 4)² + (x + 5)² = –k + 41

    Temos que o raio será dado por:
    –k + 41 = 7²
    –k = 49 – 41
    –k = 8
    k = 8
    Resposta: alternativa b.
     

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