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Exercícios sobre Relação de Euler

Teste os seus conhecimentos: Faça exercícios sobre Relação de Euler e veja a resolução comentada.


Por Marcos Noé Pedro da Silva
  • Questão 1

    Sabendo que um poliedro possui 20 vértices e que em cada vértice se encontram 5 arestas, determine o número de faces dessa figura. 

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  • Questão 2

    Sabendo que em um poliedro o número de vértices corresponde a 2/3 do número de arestas, e o número de faces é três unidades menos que o de vértices. Calcule o número de faces, de vértices e arestas desse poliedro. 

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  • Questão 3

    Quantas faces, arestas e vértices possuem o poliedro chamado de Hexaedro?

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  • Questão 4

    (FAAP-SP)

    Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número de vértices em 6 unidades. Calcule o número de faces. 

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  • Questão 5

    (PUC-MG)

    Um poliedro convexo tem 3 faces pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o número de faces desse poliedro, sabendo que o número de arestas é o quádruplo do número de faces triangulares. 

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  • Questão 6

    (UF-AM)

    O número de faces de um poliedro convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices. Então, qual o número de faces do poliedro? 

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Respostas


  • Resposta Questão 1

    Temos que o número de vértices é igual a 20 → V = 20

    As arestas que saem e chegam até o vértice são as mesmas, então devemos dividir por dois o número total de arestas. Veja:

                  

    De acordo com a relação de Euler, temos que:

    F + V = A + 2
    F + 20 = 50 + 2
    F = 52 – 20
    F = 32

    O poliedro em questão possui 32 faces. 

     

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  • Resposta Questão 2

    V: vértice
    A: arestas
    F: faces

    F = V – 3
    F = 10 – 3
    F = 7

    O poliedro possui 7 faces, 15 arestas e 10 vértices.
     

     

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  • Resposta Questão 3

     

    O Hexaedro é o poliedro conhecido por ter 6 faces quadrangulares. Cada quadrado possui 4 vértices que recebem 3 arestas cada um. 

    Faces: 6
    Vértices: 8
    Arestas: 12 

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  • Resposta Questão 4

    * F + V = A + 2
    * A = V + 6

    F + V = V + 6 + 2
    F + V – V = 8
    F = 8

    O poliedro possui 8 faces.

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  • Resposta Questão 5

    P: pentagonais (5 arestas)
    T: triangulares (3 arestas)

    F = 3*P + x*T
    A = 4*x

    Número de arestas:
    A = (3*5 + x*3)/2
    4x = (15 + 3x) / 2
    4x * 2 = 15 + 3x
    8x – 3x = 15
    5x = 15
    x = 15/5
    x = 3

    O poliedro possui 3 faces pentagonais e 3 faces triangulares, totalizando 6 faces.
     

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  • Resposta Questão 6

    Arestas (A) = 22
    Faces (F) = Vértices (V)

    Pela relação de Euler, temos:

    F + V = A + 2

    No problema sugerido temos que F = V, portanto:

    V + V = 22 + 2
    2V = 24
    V = 24/2
    V = 12

    Como o número de faces é igual ao número de vértices, concluímos que o poliedro possui 12 faces.
     

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